Mes recherches portent sur les équations aux dérivées partielles décrivant la propagation des ondes dans des domaines à bord. J’étudie comment la géométrie du milieu, et plus particulièrement les réflexions sur le bord, influencent la dispersion et la concentration des ondes. Ces phénomènes de focalisation, appelés caustiques, jouent un rôle central dans les estimations de dispersion et de Strichartz, les propriétés des fonctions propres du Laplacien et l’étude des équations dispersives non linéaires. Mes travaux combinent des outils d’analyse microlocale, d’analyse harmonique et de géométrie afin de comprendre ces interactions entre propagation, diffraction et géométrie.
Une description détaillée de mes travaux récents se trouve ici.
Les propriétés dispersives des équations des ondes et de Schrödinger sont aujourd’hui bien comprises dans l’espace euclidien, et de nombreux progrès ont également été réalisés sur les variétés sans bord. En revanche, la présence d’un bord modifie profondément la propagation des ondes et de nombreuses questions fondamentales restent ouvertes.
La difficulté provient des réflexions successives des rayons sur le bord. Celles-ci peuvent provoquer des phénomènes de focalisation (caustiques), responsables de concentrations d’énergie et de pertes dans les estimations dispersives. Les méthodes classiques, qui reposent sur des paramétrices adaptées à la propagation géométrique des ondes, ne permettent généralement pas de décrire correctement ces phénomènes de réflexions multiples.
Mes travaux s’inscrivent dans ce contexte : ils visent à comprendre l’influence de la géométrie du bord sur la propagation des ondes et à obtenir des estimations dispersives optimales dans des situations où les effets de réflexion et de diffraction jouent un rôle essentiel.
Propagation des singularités et influence du bord
Dans l’espace libre, le front d’onde issu d’une source ponctuelle est la sphère de rayon |t|. Cette description reste valable tant que les rayons optiques ne se recoupent pas ; la focalisation conduit alors à la formation de caustiques.
En présence d’un bord, les réflexions successives déforment le front d’onde et peuvent créer des caustiques, où l’énergie se concentre. L’image de droite illustre ce phénomène après seulement cinq réflexions.
À haute fréquence, l’énergie suit les rayons géométriques (les bicharactéristiques généralisées) ; la dispersion est donc étroitement liée à la géométrie de leur flot. En présence d’un bord, les réflexions successives peuvent provoquer la formation de caustiques, où des rayons se reconcentrent et ralentissent la dispersion. On distingue ainsi deux situations fondamentales : les domaines géodésiquement convexes et les domaines géodésiquement concaves.
À l’intérieur d’une parabole : la taille de l’onde diminue et sa norme L∞ augmente.
Le comportement des rayons au voisinage d’un bord
À haute fréquence, l’énergie d’une onde se propage le long des rayons géométriques. En présence d’un bord, leur comportement est beaucoup plus riche que dans l’espace libre. Les travaux fondateurs de Melrose et Sjöstrand ont montré que la propagation des singularités est gouvernée par une classification géométrique des différents types de rayons. Les principaux cas sont les suivants.
- Réflexion transverse. Le rayon rencontre le bord transversalement et se réfléchit selon les lois usuelles de l’optique géométrique (angle d’incidence égal à l’angle de réflexion). C’est la situation la plus simple.
- Rayon tangent à un obstacle strictement convexe. Une partie de l’énergie peut rester confinée au voisinage du bord et engendrer des phénomènes de diffraction, comme au point de Poisson-Arago.
Le front d’onde est constitué d’une partie directement propagée et d’une partie réfléchie selon les lois de l’optique géométrique.
- Réflexions multiples dans un domaine convexe. Après plusieurs réflexions, les rayons peuvent se reconcentrer et former des caustiques (cusps, queues d’aronde), responsables de fortes concentrations d’énergie et des pertes de dispersion.
- Point selle (changement de signe de la courbure). Il s’agit de la première situation géométrique au-delà des cas strictement convexes et strictement concaves. Aucune paramétrice locale n’est aujourd’hui disponible et l’on s’attend à l’apparition de singularités plus complexes que les queues d’aronde, notamment de type papillon. La figure ci-contre représente les sections d’une telle caustique en dimensions 3 et 2.
Source : Y. A. Kravtsov et al., Caustics, “Catastrophes and Wave Fields”, 1999
- Contacts d’ordre élevé. Lorsque le rayon est tangent avec un contact d’ordre supérieur, la propagation devient beaucoup plus subtile. Pour un contact d’ordre infini, il peut même exister plusieurs continuations géométriques possibles d’un même rayon (exemple de Taylor).
Les limites de la théorie classique
Le théorème de Melrose et Sjöstrand décrit la propagation des singularités le long des rayons géométriques et constitue l’un des fondements de l’analyse microlocale moderne. Il indique où se propagent les singularités, mais ne fournit pas d’information quantitative sur leur structure ni sur la séparation des paquets d’ondes qui se propagent dans des directions différentes.
Or cette séparation est précisément le mécanisme responsable de la dispersion. Les méthodes classiques, ainsi que les approches développées par Smith et Sogge pour les domaines à bord, permettent de contrôler la propagation après une seule réflexion mais ne décrivent pas les phénomènes de réflexions multiples et la formation des caustiques.
L’objectif de mes travaux est précisément de développer des outils permettant de mesurer quantitativement cette séparation des paquets d’ondes et d’obtenir ainsi des estimations dispersives optimales.